Question

Решите неравенство:
(x+1)^2*(x+4)^3*(2x+5)^4*(-4x^2-16x-7)≤ 0

Answer 1

Произведение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю. Произведение будет меньше нуля, если нечётное количество множителей будет отрицательным. Множители, возведенные в чётную степень всегда положительны, значит можно составить системы уравнений:
$(x+1)^2*(x+4)^3*(2x+5)^4*(-4x^2-16x-7)leq0\ begin{cases} x+4leq0\ -4x^2-16x-7geq0 end{cases} begin{cases}x+4geq0\-4x^2-16x-7leq0 end{cases}\ -4x^2-16x-7=0\ D=(-16)^2-4*(-4)*(-7)=144\ x_1=frac{16+12}{2*(-4)}=-3,5 x_2=frac{16-12}{2*(-4)}=-0,5\ begin{cases} xleq-4\ xin[-3,5;-0,5] end{cases} begin{cases}xgeq-4\xin(-infty;-3,5]cup[0,5;infty) end{cases}\ xin[-4;-3,5]cup[0,5;infty)$
Найдем решения, при которых произведение обращается в ноль:
$begin{cases} x+1=0\ x+4=0\ 2x+5=0\ -4x^2-16x-7=0 end{cases}\ \ begin{cases} x=-1\ x=-4\ x=-2,5\ x=-0,5; x=-3,5 end{cases}$
Ответ: $xin[-4;-3,5]cup[-2,5]cup[-1]cup[0,5;infty)$