Question

Помогите, пожалуйста
Каким числом способов можно из 16 различных пар ботинок выбрать 10 ботинок так, чтобы они все были на одну ногу?
С решением, пожалуйста

Answer 1

Первый ботинок можно взять 32 способами.

Дальше останется 15 левых и 15 правых, а выбирать можно будет только из одной группы.

2-ой можно выбрать 15-тью способами.
3-ий можно выбрать 14-тью способами.
4-ый можно выбрать 13-тью способами.
5-ый можно выбрать 12-тью способами.
6-ой можно выбрать 11-тью способами.
7-ой можно выбрать 10-тью способами.
8-ый можно выбрать 9-тью способами.
9-ый можно выбрать 8-тью способами.
10-ый можно выбрать 7-мью способами.

Итак получаем: $32 cdot 15 cdot 14 cdot 13 cdot 12 cdot 11 cdot 10 cdot 9 cdot 8 cdot 7$ способов.

Отметим, что если бы мы вложили во все пары ботинок номерные фанты (бумажки с номерами), то, скажем комбинация "1,2,3,4,5,6,7,8,9,10" и комбинация "2,1,3,4,5,6,7,8,9,10" практически бы не отличались, поскольку порядок выбранных ботинок нам не важен.

А, как известно, всего в любом наборе из 10 предметов
возможны 10! перестановок.

При подсчёте всех способов мы как раз сосчитали лишние неразличимые варианты, котороых в 10! раз больше, чем практически различимых.

А поэтому предварительное число вариантов нужно разделить на 10! и тогда мы получим конечное число различных вариантов:

$N = frac{ 32 cdot 15 cdot 14 cdot 13 cdot 12 cdot 11 cdot 10 cdot 9 cdot 8 cdot 7 }{ 10 cdot 9 cdot 8 cdot 7 cdot 6 cdot 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 } = frac{ 32 cdot 15 cdot 14 cdot 13 cdot 12 cdot 11 }{ 6 cdot 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 } = frac{ 32 cdot 15 cdot 14 cdot 13 cdot 11 }{ 5 cdot 4 cdot 3 } = frac{ 32 cdot 14 cdot 13 cdot 11 }{4} = \\ = 8 cdot 14 cdot 13 cdot 11 = 8 cdot (13+1) cdot 13 cdot 11 = 8 cdot (169+13) cdot 11 = \\ = 8 cdot (182) cdot 11 = 8 cdot (200-20+2) cdot 11 = (1600-160+16) cdot 11 = \\ = 1456 cdot 11 = 14 560 + 1456 = 16 016 ;$


О т в е т : 16 016 способов.