Question

Когда солдаты строились в колонну по 4, по 5 или по 6 человек, один человек оставался лишним. А когда они построились по 7 человек, то лишних не осталось. Какое наименьшее количество солдат могло быть на построении.

Answer 1

Прикажем одному солдату выйти из строя! Тогда там останется некоторое количество, которое делится без остатка на 4, одновременно делится без остатка на 5 и одновременно делится без остатка на 6, а это означает, что оно должно делиться на наименьшее общее кратное $HOK (4,5,6) = 60 ,$

Значит искомое число солдат: $N = 60 k + 1 ,$ где $k$ – некоторое целое число.



П е р в ы й . п у т ь . р е ш е н и я :

Пусть $k = 0 ,$ тогда $N = 60 cdot 0 + 1 = 1 ,$ но $1$ не делится на $7 ,$ а значит не подходит.

Пусть $k = 1 ,$ тогда $N = 60 cdot 1 + 1 = 61 ,$ но $61$ не делится на $7 ,$ а значит не подходит.

Пусть $k = 2 ,$ тогда $N = 60 cdot 2 + 1 = 121 ,$ но $121 = ( 7 cdot 17 + 2 )$ не делится на $7 ,$ а значит не подходит.

Пусть $k = 3 ,$ тогда $N = 60 cdot 3 + 1 = 181 ,$ но $181 = ( 7 cdot 25 + 6 )$ не делится на $7 ,$ а значит не подходит.

Пусть $k = 4 ,$ тогда $N = 60 cdot 4 + 1 = 241 ,$ но $241 = ( 7 cdot 34 + 3 )$ не делится на $7 ,$ а значит не подходит.

Пусть $k = 5 ,$ тогда $N = 60 cdot 5 + 1 = 301 ,$ и $301 = ( 7 cdot 43 )$ – делится на $7 ,$ а значит подходит !

И это минимальное число солдат: $N = 301 .$



В т о р о й . п у т ь . р е ш е н и я :

Как мы выяснили $N = 60 k + 1 ,$ где $k$ – некоторое целое число.

Преобразуем $N = 56k + 4k + 1 ,$ где $k$ – некоторое целое число.

И это число, с другой стороны кратно семи, т.е. $N = 56k + 4k + 1 = 7m ,$ где $k$ и $m$ – некоторые целые числа.

Итак: $56k + 4k + 1 = 7m$ ;

$4k + 1 = 7m - 7 cdot 8k$ ;

$4k + 1 = 7 ( m - 8k )$ – правая часть здесь кратна семи, а значит и левая кратная семи, т.е.:

$4k + 1 = 7 n ,$ где $k$ и $n$ – некоторые целые числа.

$frac{ 4k + 1 }{7} = n ,$ где $k$ и $n$ – некоторые целые числа.

что возможно при самом малом $k = 5 ,$ а значит:

$N = 60 k + 1 ,$ где $k = 5$ ;

$N = 60 cdot 5 + 1 = 301$ ;



Т р е т и й . п у т ь . р е ш е н и я :

Как мы выяснили $N = 60 k + 1 ,$ где $k$ – некоторое целое число.

Преобразуем $N = 63k - 3k + 1 ,$ где $k$ – некоторое целое число.

И это число, с другой стороны кратно семи, т.е. $N = 63k - 3k + 1 = 7m ,$ где $k$ и $m$ – некоторые целые числа.

Итак: $63k - 3k + 1 = 7m$ ;

$1 - 3k = 7m - 7 cdot 9k$ ;

$3k - 1 = 7 cdot 9k - 7m$ ;

$3k - 1 = 7 ( 9k - m )$ – правая часть здесь кратна семи, а значит и левая кратная семи, т.е.:

$3k - 1 = 7 n ,$ где $k$ и $n$ – некоторые целые числа.

$frac{ 3k - 1 }{7} = n ,$ где $k$ и $n$ – некоторые целые числа.

что возможно при самом малом $k = 5 ,$ а значит:

$N = 60 k + 1 ,$ где $k = 5$ ;

$N = 60 cdot 5 + 1 = 301$ ;





О т в е т : $N = 301 .$