Question

В треугольнике с вершинами А(3;2), В(-1;4), С(5;-4) найти координаты проекции точки C на сторону, проведённую из B, а также расстояние от A до прямой BC

Answer 1

1) Составляем уравнение прямой АВ:
$frac{x-3}{-1-3} = frac{y-2}{4-2}$.
Уравнение АВ в каноническом виде:
$frac{x-3}{-4} = frac{y-2}{2}$, или в общем виде:
2х - 6 = -4у + 8
2х + 4у - 14 = 0, сократив на 2:
х + 2у - 7 = 0.

Чтобы найти координаты проекции точки C на сторону, проведённую из B, надо сначала определить уравнение перпендикуляра из точки С на прямую АВ:CH₃: y + 4 -2(x-5) = 0
         -2x + y + 14 = 0
          2x - y - 14 = 0.
Теперь ищем точку пересечения  прямых АВ и CH₃:
 х + 2у - 7 = 0           х + 2у - 7 = 0
2x - y - 14 = 0        4x - 2y - 28 = 0
                               ---------------------
                               5х         -35 = 0
                                 х = 35 / 5 = 7.
                       у = 2х - 14 - 2*7 - 14 = 0.
Ответ: координаты точки H₃: (7; 0).

2) расстояние от A до прямой BC.Находим уравнение прямой ВС:
$frac{x+1}{5+1}= frac{y-4}{-4-4}$
$frac{x+4}{5} = frac{y-4}{-8}$.
После преобразования и сокращения на 2, получаем:
ВС: 4х - 3у + 16 = 0.
Расстояние от точки А до прямой ВС:
$d= frac{|4*3-3*2+16|}{ sqrt{4^2+(-3)^2} } = frac{|12-6+16|}{5} = frac{22}{5} =4,4.$