Question

Решить систему уравнений с двумя переменными:

$left { {{ x^{2} +xy+ y^{2}=3 } atop {xy( x^{2} +y^{2} )=2}} right.$

Answer 1

$begin{cases}x^2+xy+y^2=3 \ xy(x^2+y^2)=2 right end{cases}$
Замена: х²+у²=а; xy=b
Система принимает вид:
$begin{cases}a+b=3 \ ab=2 right end{cases} \ a=3-b \ (3-b)b=2 \ 3b-b^2=2 \ b^2-3b+2=0 \ (b-1)(b-2)=0 \ b-1=0; b_1=1Rightarrow a_1=3-1=2 \ b-2=0; b_2=2Rightarrow a_2=3-2=1$
Возвращаемся к исходным переменным. Первый случай:
$begin{cases}x^2+y^2=2 \ xy=1 right end{cases} \ x= frac{1}{y} \ ( frac{1}{y} )^2+y^2=2 \ y^2-2cdot ycdot frac{1}{y} +( frac{1}{y} )^2=0 \ (y- frac{1}{y} )^2=0 \ y- frac{1}{y} =0 \ y= frac{1}{y} , y neq 0 \ y^2=1 \ y_1=1Rightarrow x_1= frac{1}{1} =1 \ y_2=-1Rightarrow x_2= frac{1}{-1} =-1$
Второй случай:
$begin{cases}x^2+y^2=1 \ xy=2 right end{cases} \ x= frac{2}{y} \ ( frac{2}{y} )^2+y^2=1 \ frac{4}{y^2}+y^2-1=0 , y neq 0 \ y^4-y^2+4=0 \ D=(-1)^2-4cdot1cdot4 textless 0$
Во втором случае решений не получили
Ответ: (1;1); (-1; -1)