Предмет: Физика, автор: Никиточи123

На резиновом шнуре длиной 20 см подвесили груз массой 200 г. При этом шнур удлинился на 4 см. На сколько удлинится этот же резиновый шнур, если к нему подвесить тот же самый груз, но предварительно шнур сложить вдвое? Чему равен коэффициент упругости шнура? (Считать, что деформации резины подчиняются закону Гука).

Ответы

Автор ответа: gartenzie
0
Для начала отвлечёмся немного от конкретного вопроса и поставим такой мысленный эксперимент:

Допустим, мы сидим на высоком упругом куске поролона, теперь подложим ещё один точно такой же кусок поролона, что изменится? Понятно, что такое сиденье станет мягче, т.е. его жёсткость – снизится.

Вообще, верно такое положение: чем больше протяжённость одного и того же материала вдоль оси сжатия (растяжения) – тем меньше коэффициент жёсткости (упругости) такой пружинящей системы.

Проще говоря, рассматривая пружинки и резинки, можно сказать, что если из одного и того же материала изготовить одинаковые пружинки разной длины, то коэффициент жёсткости (упругости) будет больше у короткой и меньше у длинной пружинки, и отличаться коэффициенты жёсткости будут во столько же раз, во сколько отличаются их длины.


Теперь поговори о нашем резиновом 20-сантиметровом шнуре. Сила, действующая в первом опыте на нижний конец шнура – это вес подвешенного груза, который в состоянии покоя равен силе тяжести, действующей на груз. Т.е. эта сила  T_o = mg approx 0.2 cdot 9.8 H = 1.96 H . Коэффициент упругости такого резинового шнура можно легко найти, исходя из закона упругости Гука:

 | F_{ynp} | = k_{ynp} cdot Delta x ,

т.е. как:  k_{ynp} = frac{ | F_{ynp} | }{ Delta x } ,

или конкретно в нашем случае:  k_o = frac{ T_o }{ Delta x } = frac{mg}{ Delta x } approx frac{ 0.2 cdot 9.8 }{ 0.04 } = 49 Н/м .

Итак, жёсткость всего шнура  k_o approx 49 Н/м .

Это воздействие в полной мере передаётся и точке закрепления шнура, и соответственно на верхнюю точку самого шнура действует сила  T_u = T_o approx 1.96 H . Причём в любой точке шнура между его собственными частями действует такая же сила  T = T_u = T_o approx 1.96 H . А значит и в середине шнура действует точно такая же сила  T = T_u = T_o approx 1.96 H .

Середина шнура, находившаяся в нерастянутом состоянии на расстоянии 10 см от его концов, при равномерном растяжении всего шнура не перестаёт быть серединой, а значит, поскольку весь шнур становится 24 см длину, то середина оказывается в 12 см от концов шнура, т.е. перемещается вниз на 2 см, считая от верхней точки закрепления шнура. Отсюда можно вычислить коэффициент жёсткости именно верхней половины резинового шнура, которая при действии на неё силы Гука в  1.96 H удлиняется при растяжении на 2 см. И у нас получится:  k = frac{ T }{ frac{1}{2} Delta x } = 2 frac{mg}{ Delta x } = 2 k_o approx 98 Н/м . Откуда видно, что у половины шнура коэффициент упругости вдвое больше, чем у целого.

Если бы мы подвесили груз просто к середине шнура, как показано в предпоследнем варианте, то шнур работал бы с коэффициентом упругости  k = 2 k_o approx 98 Н/м . А половина шнура, так же как и раньше, растягивалась бы на половину величины  Delta x = 4 см, заданной в условии, т.е. на  frac{1}{2} Delta x = 2 см.

А если же шнур не просто использовать на половину, а сложить и использовать обе его половины параллельно, как показано в последнем варианте, то каждая его часть при растягивании на  frac{1}{2} Delta x = 2 см, действовала бы на груз с силой  T = 1.96 H , т.е. суммарная сила, действующая на груз вверх была бы вдвое больше необходимой для уравновешивания его массы, а значит, весь сложенный шнур немного поднимется, так что растяжение каждой его половинки сократится ещё вдвое, и общая сила натяжения станет равна силе тяжести груза.

Конечное растяжение сложенного шнура составит  frac{1}{4} Delta x = 1 см. А его коэффициент упругости сложится из упругости одной и другой половинки сложенного шнура. А поскольку коэффициент упругости каждой половинки составляет  k = 2 k_o approx 98 Н/м, то коэффициент упругости всей такой системы будет  k' = 2k = 4 k_o approx 196 Н/м .



О т в е т :

 k_o approx 49 Н/м – коэффициент упругости исходного резинового шнура;

 k' = 4k_o approx 196 Н/м – коэффициент упругости сложенного вдвое шнура;

 Delta x' = frac{1}{4} Delta x approx 1 см


*** важно понимать, что под  Delta x' approx 1 см, здесь подразумевается длина, на которую удлиняется именно сложенный резиновый шнур, т.е. от  10 см до  11 ; если же гибким измерительным инструментом измерить полную длину сложенного резинного шнура, то она окажется равной  22 см, против исходных  20 см.
Приложения:
Похожие вопросы
Предмет: Математика, автор: zhenyalogachova2009
Предмет: Математика, автор: inkarmiss9
Предмет: Алгебра, автор: ekaterinamelnik