Question

найти частные производные первого порядка:

$1) z=arctg frac{7x+y}{1-7xy} 2) z= e^{-xy^7}$

Answer 1

Частную производную по переменной х вычисляем в предположении, что у - константа. Аналогично для частной производной по переменной у считаем, что х - константа.

1)

$z=mathrm{arctg} frac{7x+y}{1-7xy}$

$z_x'= cfrac{1}{1+ (frac{7x+y}{1-7xy})^2} cdot ( frac{7x+y}{1-7xy})'= \ = cfrac{1}{frac{(1-7xy)^2+(7x+y)^2}{(1-7xy)^2}} cdot frac{(7x+y)'(1-7xy)-(7x+y)(1-7xy)'}{(1-7xy)^2}= \ = frac{(1-7xy)^2}{(1-7xy)^2+(7x+y)^2} cdot frac{7(1-7xy)-(-7y)(7x+y)}{(1-7xy)^2}=frac{7(1-7xy)+7y(7x+y)}{(1-7xy)^2+(7x+y)^2} = \ =frac{7-49xy+49xy+7y^2}{1-14xy+49x^2y^2+49x^2+14xy+y^2} =frac{7+7y^2}{1+49x^2y^2+49x^2+y^2}=\ =frac{7+7y^2}{1+y^2+49x^2(1+y^2)} =frac{7(1+y^2)}{(1+49x^2)(1+y^2)} =frac{7}{1+49x^2}$

$z_y'= cfrac{1}{1+ (frac{7x+y}{1-7xy})^2} cdot ( frac{7x+y}{1-7xy})'= \ = cfrac{1}{frac{(1-7xy)^2+(7x+y)^2}{(1-7xy)^2}} cdot frac{(7x+y)'(1-7xy)-(7x+y)(1-7xy)'}{(1-7xy)^2}= \ = frac{(1-7xy)^2}{(1-7xy)^2+(7x+y)^2} cdot frac{(1-7xy)-(-7x)(7x+y)}{(1-7xy)^2}=frac{(1-7xy)+7x(7x+y)}{(1-7xy)^2+(7x+y)^2} = \ =frac{1-7xy+49x^2+7xy}{1-14xy+49x^2y^2+49x^2+14xy+y^2} = frac{1+49x^2}{1+49x^2y^2+49x^2+y^2} = \ =frac{1+49x^2}{1+y^2+49x^2(1+y^2)} =frac{1+49x^2}{(1+49x^2)(1+y^2)} = frac{1}{1+y^2}$

2)

$z= e^{-xy^7}$

$z_x= e^{-xy^7} cdot (-xy^7)'=e^{-xy^7} cdot (-y^7)=-y^7e^{-xy^7}$

$z_y= e^{-xy^7} cdot (-xy^7)'=e^{-xy^7} cdot (-xcdot 7y^6)=-7xy^6e^{-xy^7}$