Question

Решить уравнение:

$sqrt{2} cdot ( 1 + cos{x} + sin{x} ) + 1 = sqrt{3} cdot sin{x} - cos{x}$ ;


*** ответ не должен содержать в явном виде обратных функций:
$arcsin(), arccos(), arctg()$ или $arcctg() .$

Answer 1

$sqrt{2}(1+cosx+sinx)+1=sqrt{3}sinx-cosx$

$sqrt{2}+sqrt{2}cosx+sqrt{2}sinx+1=sqrt{3}sinx-cosx$

Делим все на 2

$frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}cosx+frac{sqrt{2}}{2}sinx+frac{1}{2}=frac{sqrt{3}}{2}sinx-frac{1}{2}cosx$

Преобразовываем

$frac{sqrt{2}}{2}+sin(frac{pi}{4})cosx+sin(frac{pi}{4})sinx+frac{1}{2}=cos(frac{pi}{6})sinx-sin(frac{pi}{6})cosx$

$sin(frac{pi}{4})+sin(frac{pi}{4}+x)+sin(frac{pi}{6})=sin(x-frac{pi}{6})$

Группируем
 

$sin(frac{pi}{4}+x)- sin(x-frac{pi}{6})= -sin(frac{pi}{4})- sin(frac{pi}{6})$

$cos(frac{frac{pi}{4}+x+x-frac{pi}{6}}{2})sin(frac{frac{pi}{4}+x-x+frac{pi}{6}}{2})= -(sin(frac{pi}{4})+ sin(frac{pi}{6}))$

$cos(x+frac{pi}{24})sin(frac{5pi}{24})= -sin(frac{frac{pi}{4}+frac{pi}{6}}{2})cosfrac{frac{pi}{4}-frac{pi}{6}}{2}$

$cos(x+frac{pi}{24})sin(frac{5pi}{24})= -sin(frac{5pi}{24})cosfrac{pi}{24}$

$cos(x+frac{pi}{24})= -cosfrac{pi}{24}$

$cos(x+frac{pi}{24})+cosfrac{pi}{24}=0$

$2cos( frac{x+frac{pi}{24}+frac{pi}{24}}{2})cos(frac{x+frac{pi}{24}-frac{pi}{24}}{2})=0$

$2cos( frac{x}{2}+frac{pi}{24})cos(frac{x}{2}})=0$

$cos( frac{x}{2}+frac{pi}{24})cos(frac{x}{2}})=0$

Получили два уравнения

$cos( frac{x}{2}+frac{pi}{24})=0$  и  $cos(frac{x}{2}})=0$

Из первого уравнения
$frac{x}{2}+frac{pi}{24}=frac{pi}{2}+ pi*n$

$frac{x}{2}=frac{pi}{2}-frac{pi}{24}+ pi*n$

$frac{x}{2}=frac{11pi}{24}+ pi*n$

$x=frac{11pi}{12}+ 2pi*n$

Из второго уравнения

$frac{x}{2}=frac{pi}{2}+ pi*n$

$x=pi+ 2pi*n$

Answer 2

Возможно есть и более короткое решение....

Answer 3

Отличное решение. Более коротким может быть только оно же, будучи записанным менее подробно. Достаточно 6–8 строк. Но такая, как здесь, подробная запись позволяет разобраться в решении даже новичку в тригонометрии. Так что, большое спасибо автору решения за оформление!

Answer 4

Да, мне тоже нравится.