Question

Найдите наименьшее значение функции f (x)=4^x - 2^x+4 + 100

Answer 1

f(x)=2^(2x)-2^(x+4)+100=2^(2x)-2^4*2^x+100=2^(2x)-16*2^x+100

2^(x)=t
t^2-16t+100=0-парабола,ветки вниз.найдем координаты вершины:
t(min)=16/2=8
2^(x)=8
2^(x)=2^3
x=3
f(3)=64-128+100=36-наименьшее значение функции

Answer 2

что-то не так,но не умею убрать решение.пожалуйста,или уберите решение,или укажите,что не так((((

Answer 3

У вас ошибка. Попробуйте исправить. Показатель в степени не просто «x», а «x+4». Можно решить так и вашим способом. Но надо правильно решить!

Answer 4

Аааа... Вроде бы вы это учитываете, но как-то местами... То учитываете, то нет...

Answer 5

Иправьте! У меня бронебойный метод. А ваш – быстрый.

Answer 6

Для поиска наименьшего значения функции $f(x)$ необходимо найти ноли производной $f'(x) = 0 ,$ т.е. точки, где у функции будет экстремум, и показать, что до экстремума функция $f(x)$ падает, т.е. производная $f'(x) < 0 ,$ а после экстремума функция растёт, т.е. производная $f'(x) > 0 .$

Пользуемся правилами дифференцирования:

1) $( e^x )' = e^x$ ;

2) $( psi (kx+q) )' = k psi '(kx+q)$ ;

3) $( a^{x+b} )' = ( ( e^{ ln{a} } )^{x+b} )' = ( e^{ (x+b) ln{a} } )' = ln{a} cdot e^{ (x+b) ln{a} } = ln{a} cdot a^{x+b}$ ;


Берём производную, в соответствии с 3) :

$f'(x) = ln{4} cdot 4^x - ln{2} cdot 2^{x+4} =$

$= 2ln{2} cdot (2^2)^x - ln{2} cdot 2^{x+4} = ln{2} ( 2^1 cdot 2^{2x} - 2^{x+4} )$ ;

$f'(x) = ln{2} ( 2^{2x+1} - 2^{x+4} )$ ;


Потребуем: $f'(x) = 0$ ;

$ln{2} ( 2^{2x+1} - 2^{x+4} ) = 0$ ;

$2^{2x+1} = 2^{x+4}$ ;

$2x+1 = x+4$ ;

$x = 3 ,$ причём это единственный корень.


При $x < 3 ,$ например при $x = 0 , f'(x=0) = ln{2} ( 2^{ 2 cdot 0 + 1 } - 2^{ 0 + 4 } ) = ln{2} ( 2^1 - 2^4 ) < 0 ,$ т.е. функция убывает.

При $x > 3 ,$ например при $x = 4 , f'(x=4) = ln{2} ( 2^{ 2 cdot 4 + 1 } - 2^{ 4 + 4 } ) = ln{2} ( 2^9 - 2^8 ) > 0 ,$ т.е. функция растёт.

Значит при $x = 3$ как раз достигается минимум: $f(x = 3) = 4^3 - 2^{3+4} + 100 = 64 - 128 + 100 = 36$ ;



О т в е т : $min(f(x)) = 36 .$