Question

Расстояние от точки пересечения высот треугольника ABC до вершины C равно стороне AB. Какое наибольшее значение (в градусах) может быть у угла ACB?

Answer 1

Тут все очевидно, если знать следующий факт. Пусть H - точка пересечения высот ABC, О - центр описанной окружности вокруг АBC и М - середина AB. Тогда CH=2OM. Доказательство можно найти в этой задаче http://znanija.com/task/10929187 в части 2а). Ну а раз AB=CH=2OM, значит ABO - прямоугольный равнобедренный треугольник. Т.е. ∠ACB=90°/2=45° или ∠ACB=180°-90°/2=135° в случае, если ∠ACB - тупой по свойству углов, вписанных в окружность. Так что ответ 135°.