Question

Решить уравнение:

$tg^2{x} + 8 cos{2x} = 7$ ;


*** ответ не должен содержать обратных функций: $arcsin(), arccos(), arctg(), arcctg() .$

Answer 1

tg^2(x)=(1-cos 2x)/(1+cos 2x),тогда
(1-cos 2x)/(1+cos 2x)+8cos 2x=7
1-cos 2x+8cos 2x+8cos^(2x)-7-7cos 2x=0
8cos^(2x)=6
cos^2(2x)=3/4
cos 2x=V3/2                                                  cos 2x=-V3/2
2x=pi/6+2pi*n    2x=-pi/6+2pi*n               2x=5pi/6+2pi*n        2x=-5pi/6+2pi*n
x=pi/12+pi*n      x=-pi/12+pi*n                  x=5pi/12+pi*n          x=-5pi/12+pi*n

Answer 2

Если нарисовать [ http://s22.postimg.org/mqf8sucld/solvatin.png ] все углы на кружке – всё становится ясно. У вас все смещения рассчитаны на pi. Я нарисовала ваши решения тёмно-зелёненьким, а смещённые на pi – коричневым. Может так сможете записать x через ± , используя более короткий период в ответе!? :–) С Наступающим!

Answer 3

С наступившим Новым Годом!

Answer 4

Ой! Простите! Я в предыдущем посте некорректно расставила значения в π – на круговой диаграмме. В два раза больше их случайно написала. Так что, я её перевыложу, вдруг пригодится. [http://s2.postimg.org/6cmm7teax/solvatin.png] . Серии корней, которые вы нашли – можно было бы записать в виде одной формулы так: x = ± π/12 + πn/2, что легко видеть из новой круговой диаграммы, приведённой на новом рисунке, размещённом в ЭТОМ посте.

Answer 5

А вообще, уравнение можно было проще дорешать с середины так: cos^2(2x)=3/4 ; : : : 2cos^2(2x)=3/2 ; : : : 2cos^2(2x)-1=3/2-1 ; : : : cos(4x) =1/2 ; : : : 4x = ± π/3 + 2πn ; : : : x = ± π/12 + πn/2 .

Answer 6

:)спасибо