Question

Помогите пожалуйста решить примеры и неравенства. 

Answer 1

1) 6^(2x-8) = 216^x = 6^(3x)

2x - 8 = 3x

Ответ: x = -8

2) 2*4^x - 5*2^x + 2 = 0

Замена y = 2^x

2y^2 - 5y + 2 = 0

(y - 2)(2y - 1) = 0

y1 = 2^x = 2; x1 = 1

y2 = 2^x = 1/2; x2 = -1

Ответ: x1 = -1; x2 = 1

3) lg(x^2 - 6) = lg(8 + 5x)

Область определения:

{ x^2 - 6 > 0; x < -√6 ~ -2,4 U x > √6 ~ 2,4

{ 5x + 8 > 0; x > -8/5 = -1,6

x ∈ (√6; +oo)

x^2 - 6 = 5x + 8

x^2 - 5x - 14 = 0

(x - 7)(x + 2) = 0

x1 = 2 < √6 - не подходит

x2 = 7 > √6 - подходит.

Ответ: x = 7

4) $log_2^2(x) -4*log_2(x) + 3=0$

Область определения: x > 0

Замена $y=log_2(x)$

y^2 - 4y + 3 = 0

(y - 1)(y - 3) = 0

$y1=log_2(x)=1; x1=2^1=2$

$y2=log_2(x)=3; x2=2^3=8$

Ответ: x1 = 2; x2 = 8

5) sin^2 x + sin x*cos x = 0

sin x*(sin x + cos x) = 0

sin x = 0; x1 = pi*k

sin x + cos x = 0

sin x = -cos x

tg x = -1

x2 = 3pi/4 + pi*n

Ответ: x1 = pi*k; x2 = 3pi/4 + pi*n

6) 6*cos^2 x + cos x - 1 = 0

Замена y = cos x

6y^2 + y - 1 = 0

(3y - 1)(2y + 1) = 0

y1 = cos x = -1/2; x1 = +-2pi/3 + 2pi*k

y2 = cos x = 1/3; x2 = +-arccos(1/3) + 2pi*n

Ответ: x1 = +-2pi/3 + 2pi*k; x2 = +-arccos(1/3) + 2pi*n

7) $( frac{7}{12} )^{-2x+3} textgreater ( frac{12}{7} )^{2x+3}$

$( frac{12}{7} )^{2x-3} textgreater ( frac{12}{7} )^{2x+3}$

12/7 > 1, значит, функция f(x) = (12/7)^x возрастает при любом x, поэтому при переходе от степеней к показателям знак неравенства остается.

2x - 3 > 2x + 3

Это неравенство не выполняется ни при каком x.
Ответ: ∅

8) $log_{0,4} (12x+2) geq log_{0,4} (10x+16)$
Область определения:
{ 12x + 2 > 0; x > -1/6
{ 10x + 16 > 0; x > -8/5
x ∈ (-1/6; +oo)

0,4 < 1, значит, функция $f(x)=log_{0,4} (x)$ убывает на всей области определения, поэтому при переходе от логарифмов к числам знак неравенства меняется.
12x + 2 <= 10x + 16
2x <= 14
x <= 7
Ответ: x ∈ (-1/6; 7]

9) sin x >= √3/2
Решим уравнение
sin x = √3/2
x1 = pi/3 + 2pi*k
x2 = 2pi/3 + 2pi*k
Ответ: [pi/3 + 2pi*k; 2pi/3 + 2pi*k]