Question

Помогите с алгеброй.
1)Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0,2,3,5.8,9,если цифры не повторяются?
2)Найдите угол между векторами а( - 3 ,4,0) b(1 , -1 , 2)
3)В урне 8 белых и 14 чёрных шаров . Из урны вынимают сразу 2 шара. Найдите вероятность того,что эти шары разных цветов.

Answer 1

1) Чтобы составить чеьырехзначное число надо заполнить четыре места в этом числе.
На первое место можно поставить любую из пяти цифр(2;3;5;8;9 )- 5 способов
На второе место любую из четырех оставшихся и 0 - всего 5 способов
На третье место любую из четырех оставшихся
На четвертое место любую из двух оставшихся
 
Результат умножаем:
Так как к каждой цифре выбранной на первое место ( а их 5) вторую можно выбрать еще 5-ю способами. Всего 25 способов и т.д

5·5·4·3=300 способов

Ответ. 300 чисел

2) По определению скалярного произведения.

$vec a cdot vec b=|vec a|cdot |vec b|cdot cos alpha \ \ cos alpha = frac{vec a cdot vec b}{|vec a|cdot |vec b|}$

$vec acdot vec b=x_1cdot x_2+y_1cdot y_2+z_1cdot z_2 \ \ |vec a|= sqrt{x_1^1+x_2^2+x_3^2}$

$vec acdot vec b=-3cdot 1+4cdot(-1)+0cdot 2=-7 \ \ |vec a|= sqrt{(-3)^2+4^2+0^2} =5 \ \ |vec b|= sqrt{1^2+(-1)^2+2^2} = sqrt{6} \ \ cos alpha = frac{-7}{5 sqrt{6} } \ \ alpha =arccos(frac{-7}{5 sqrt{6} } )= pi -arccosfrac{7}{5 sqrt{6} }$

3) Испытание состоит в том, что из 22 шаров  (8+14)   вынимают два.
    Событию А удовлетворяют случаи, когда из 8-ми белых вынут один и из 14 черных вынут один

Один белый из восьми можно вынуть 8-ю способами, один черный из четырнадцати, можно вынуть 14-ю способами

$p(A)= frac{8cdot 14}{C^2_{22}}= frac{8cdot 14}{ frac{22!}{2!cdot (22-2)!} }= frac{16}{33}$