Question

Площадь правильного треугольника, вписанного в круг меньше площади вписанного в этот же круг квадрата на 18,5. Найдите площадь вписанного в этот круг правильного шестиугольника

Answer 1

радиус окружности  - R

S∆ =R^2*3√3/4

S□ = (2R/√2)^2=2R^2

S□ - S∆ = 18.5 = 2R^2 - (R^2*3√3/4) = R^2 (2 -3√3/4 )

R^2 (2 -3√3/4 ) = 18.5

R^2 = 18.5 / (2 -3√3/4 )

сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности

шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольника

площадь шестиугольника

S(6) = 6*1/2*R^2*sin60=3*18.5 / (2 -3√3/4 )*√3/2=6√3*18.5 / (8 -3√3)=

         = 111√3 /(8 -3√3) = 111√3 *(8+3√3) / (8-3√3) (8+3√3) =

         = 27+24√3 = 24√3+27

         = 3(9+8√3)= 3(8√3+9)

** ответы на выбор

 

 

Answer 2

описаная окружность, тогда образуется три равные дуги с центр углом 120 град,

тогда площадь треуг = 3*1/2*R*R*sin 120=

=$frac{3*R^2sqrt{3}}{4}$

 

Квадрат состоит из 4 равных треугольников, причем радиусы - половины диагоналей образуют угол 90 град, тогда

Sквадрата = $4*frac{1}{2}*R^2*sin90=2R^2$

 

Sквадр - Sтреуг=18,5, подставим,  получим :

$2R^2 - frac{3*R^2*sqrt{3}}{4}=18.5\ \8R^2-3*R^2*sqrt{3}=74\ \R^2*(8-3*sqrt{3})=74\ \R^2=frac{74}{(8-3*sqrt{3})}$

 

В описанной окружности правильного шестиугольника получается 6 равносторонних треугольника со стороной = R, тогда

 

Sшестиуг =$frac{1}{2}*R^2*frac{sqrt{3}}{2}*6=\ \=R^2*1.5*sqrt{3}$

 

Подставим значение R^2, получим :

 

Sшестиуг=$frac{74}{(8-3*sqrt{3)}}*1.5*sqrt{3}=\ \=frac{111*sqrt{3}}{(8-3*sqrt{3})}$

 

Ответ: $frac{111*sqrt{3}}{(8-3*sqrt{3})}$

 

Домножив числитель и знаменатель на $(8+3sqrt{3})$

 

получим:

 

$frac{111*sqrt{3}}{(8-3*sqrt{3})}*frac{(8+3sqrt{3})}{(8+3sqrt{3})}=frac{888sqrt{3}+999}{(8-3*sqrt{3})*(8+3sqrt{3})}=\ \=frac{111*(8sqrt{3}+9)}{64-24sqrt{3}+24sqrt{3}-27}=\ \=frac{111*(8sqrt{3}+9)}{37}=3(8sqrt{3}+9)$