Question

Помогите, пожалуйста доказать.
1. Я вляется ли подпространством соответствующего линейного пространства множество векторов, концы которых лежат в первой четверти системы координат.
2. Является ли подпространством сооответствующего линейного пространства множество n-мерных векторов, у которых координаты с четными номерами равны 0.
3. Является ли подпространством соответствующего линейного пространства множество n-мерных векторов, у которых координаты с четными номерами равны между собой.

Answer 1

Непустое подмножество линейного пространства называется линейным подпространством, если линейные операции, то есть сложение векторов и умножение их на число, не выводят за пределы этого множества. Аксиомы линейного пространства для этого множества проверять не обязательно - они будут выполнены автоматически.

1) Умножив такой вектор на отрицательное число, получим вектор, конец которого лежит во второй четверти. Поэтому ответ в первом случае отрицательный.

2) Складывая векторы, у которых координаты с четными номерами равны 0, а также умножая такие векторы на любое число, снова получаем вектор из этого множества. Поскольку оно непусто, оно является линейным подпространством.

3) Складывая векторы, у которых координаты с четными номерами равны между собой, а также умножая такие векторы на любое число, снова получаем вектор из этого множества. Поскольку оно непусто, оно является линейным подпространством.