Question

sinx + cos4x*cosx = -sqrt2 знаю, что нужно использовать метод вспомогательного аргумента. Но как? спасибо

Answer 1

$sin x+cos (4x)*cos x geq sin x+(-1)*cos x=\\ sin x-cos x=sqrt{2}*frac{sqrt{2}}{2}*(sin x-cos x)=\\ sqrt{2}(frac{sqrt{2}}{2}*sin x-frac{sqrt{2}}{2}*cos x)=\\ sqrt{2}(cos frac{pi}{4}*sin x-sin frac{pi}{4}*cos x)=\\ sqrt{2}*sin(x-frac{pi}{4}) geq sqrt{2}*(-1)=-sqrt{2};$

 

поєтому уравнение имеет решение если

$cos (4x)=-1;\\sin(x-frac{pi}{4})=-1$

$4x=pi+2*pi*k; x-frac{pi}{4}=-frac{pi}{2}+2*pi*n;\\ x=frac{pi}{4}+frac{pi*k}{2}; x=-frac{pi}{4}+2*pi*n;\\ x=-frac{pi}{4}+2*pi*n;$

n є Z