Question

Построить график функции y = (2x^2+1)/x^2 по следующему алгоритму:
1) Область определения функции
2) Непрерывность функции и её четность(lim y =? при x-> +- ∞)
3) Пересечение с осями координат и точки разрыва (найти точки разрыва с помощью пределов)
4) Асимптоты (вертикальные и наклонные, найти их через пределы)
5) Возрастание, убывание, экстремумы функции(через достаточные условия)
6) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика
7) Построить сам график со всеми асимптотами

Answer 1

Дано: $y = frac{2x^2+1}{x^2}$ ;
Исследовать функцию и построить график.

Решение:

1) Функция не определена при обращении в ноль знаменателя, т.е. x ≠ 0 .

D(f) ≡ R {0} ≡ $( -infty ; 0 )U( 0 ; +infty )$ ;



2) В функции встречаются только чётные степени аргумента, а значит она чётная. Докажем это:

$y(-x) = frac{ 2(-x)^2 + 1 }{ (-x)^2 } = frac{2x^2+1}{x^2} = y(x)$ ;


Найдём первую производную функции y(x) :

$y'(x) = ( frac{2x^2+1}{x^2} )' = ( frac{ 2x^2 }{x^2} + frac{1}{x^2} )' = ( 2 + x^{-2} )' = -2 x^{-3}$ ;

$y'(x) = -frac{2}{x^3}$ ;

При x = 0, производная y'(x) – не определена, как и сама функция, при всех остальных значениях аргумента функция и её первая производная определены и конечны, а значит функция непрерывная на всей области определения D(f) – на всей числовой прямой, кроме ноля.



3) Функция не определена при x = 0 . Это точка разрыва. При этом её значение стремится к положительной бесконечности, что легко доказать:

$lim_{x to 0} y(x) = lim_{x to 0} frac{2x^2+1}{x^2} = lim_{x to 0} 2 + lim_{x to 0} frac{1}{x^2} = 2 + infty = +infty$ ;


Если приравнять функцию к нолю, получим:

$y(x) = 0$ ;

$frac{2x^2+1}{x^2} = 0$ ;

$2 + frac{1}{x^2} = 0$ ;

$( frac{1}{x} )^2 = -2$ – что невозможно ни при каких действительных значениях аргумента;

Значит, никаких пересечений графика с осями координат нет.



4. Найдем асимптоты y(x).

По найденному в (3) пределу, ясно, что линия x = 0 – является вертикальной двухсторонней асимптотой графика функции y(x) .

Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± $infty$ :

$lim_{x to infty} y(x) = lim_{x to infty} frac{2x^2+1}{x^2} = lim_{x to infty} 2 + lim_{x to infty} frac{1}{x^2} = 2 + 0 = 2$ ;

Значит, уходя на бесконечность обоих знаков график функции y(x) имеет двунаправленную горизонтальную асимптоту y = 2 ;

Наклонных асимптот нет, и не может быть, так как есть горизонтальные с обеих сторон.



5. Первая производная функции y(x) :

$y'(x) = -frac{2}{x^3}$ – положительна при отрицательных значениях аргумента и отрицательна при положительных х ;

Значит, функция возрастает на $( -infty ; 0 )$ и убывает на $( 0 ; +infty )$ ;


Уравнение $y'(x) = 0$ т.е. $y'(x) = -frac{2}{x^3}$ – не имеет решений, а значит, у функции нет экстремумов, т.е. конечных локальных минимумов или максимумов.



6. Найдём вторую производную функции y(x) :

$y''(x) = (y'(x))' = ( -frac{2}{x^3} )' = -2 ( x^{-3} )' = -2*(-3)*x^{-4}$ ;

$y''(x) = frac{6}{x^4} > 0$ при любых значениях аргумента ;

В силу общей положительности второй производной – график функции всегда «улыбается», т.е. он вогнут, или, говоря иначе: он закручивается против часовой стрелки на всём своём протяжении при проходе по числовой оси аргументов слева направо.

Поскольку выгнутость повсеместна, то и точек перегиба не может быть. И их нет, соответственно.



7.

При х = ± 1 : : : y(x) = 3 ;

При х = ± 2 : : : y(x) = 2.25 ;

При х = ± 1/2 : : : y(x) = 6 ;

Строим график: