Question

Смежные стороны параллелограмма равны а и b, a один из его углов равен α. Найдите угол между диагоналями параллелограмма.

Answer 1

Если одни угол параллелограмма равен α, то противолежащий ему тоже равен α, а два других равны (180-α).
По теореме косинусов находим диагонали:
$d_1^2=a^2+b^2-2abcos alpha \ d_2^2=a^2+b^2-2abcos (180-alpha )=a^2+b^2+2abcos alpha$
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник со сторонами d₁/2; d₂/2; a. Теорема косинусов для этого треугольника:
$a^2=( frac{d_1}{2})^ 2+( frac{d_2}{2})^ 2-2cdot frac{d_1}{2}cdot frac{d_2}{2}cos x \ a^2=frac{1}{4}(d_1^2+d_2^2)- frac{1}{2}d_1d_2cos x \ a^2=frac{1}{4}(a^2+b^2-2abcos alpha +a^2+b^2+2abcos alpha )- \ -frac{cos x}{2} sqrt{(a^2+b^2-2abcos alpha)(a^2+b^2+2abcos alpha)} \ a^2=frac{1}{4}(2a^2+2b^2 )-frac{cos x}{2} sqrt{(a^2+b^2)^2-(2abcos alpha)^2} \ a^2=frac{1}{2}(a^2+b^2 )-frac{cos x}{2} sqrt{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2cos^2 alpha}$
$2a^2=a^2+b^2-cos x sqrt{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2cos^2 alpha} \ b^2-a^2=cos x sqrt{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2cos^2 alpha} \ cos x= frac{b^2-a^2}{ sqrt{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2cos^2 alpha} } \ Rightarrow x=arccos frac{b^2-a^2}{ sqrt{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2cos^2 alpha} }$