Question

Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя lim x стремится кPi/2 (sin3x+1)/(x-Pi/2)

Answer 1

$displaystyle lim_{x to frac{pi}{2}}frac{sin 3x+1}{x-frac{pi}{2}}=bigg{frac{0}{0}bigg}=left[begin{array}{ccc}x-frac{pi}{2}=t\ \ x=frac{pi}{2}+t\ \ tto 0end{array}right]=lim_{t to 0}frac{sin(frac{3pi}{2}+3t)+1}{t}=\\\ =lim_{t to 0}frac{-cos 3t+1}{t}=lim_{t to 0}frac{(1-cos 3t)(1+cos 3t)}{t(1+cos 3t)}=lim_{t to 0}frac{1-cos^23t}{2t}=\ \ \ =frac{1}{2}lim_{t to 0}frac{sin^23t}{t}=frac{1}{2}lim_{t to 0}frac{(3t)^2}{t}=frac{9}{2}lim_{t to 0}t=0$