Question

Вычислите производную функции по определению: а)f(x)= 2+3x б)f(x)=3x²+7 в) f(x)= (4-x)²

Answer 1

$1); ; f(x)=2+3x\\f'(x)=lim_{Delta xto 0}, frac{Delta f}{Delta x}=lim_{Delta xto 0}frac{2+3(x+Delta x)-(2+3x)}{Delta x}=\\=lim_{Delta xto 0}= frac{3Delta x}{Delta x} =3; ;\\2); ; f(x)=3x^2+7\\y'=lim_{Delta xto 0} frac{3(x+Delta x)^2+7-(3x^2+7)}{Delta x} =lim ; frac{6xcdot Delta x-3(Delta x)^2}{Delta x} =\\=lim_{Delta xto 0} frac{Delta x(6x-3cdot Delta x)}{Delta x} =lim_{Delta xto 0}, (6x-3cdot underbrace{Delta x}_{0})=6x$

$3); ; y=(4-x)^2\\y'=lim_{Delta xto 0} frac{(4-(x+Delta x))^2-(4-x)^2}{Delta x} =lim; frac{16-8(x+Delta x)+(x+Delta x)^2-(16-8x+x^2)}{Delta x} \\=lim; frac{16-8x-8cdot Delta x+x^2+2xcdot Delta x+(Delta x)^2-16+8x-x^2}{Delta } =\\=lim_{Delta xto 0} frac{-8cdot Delta x+2xcdot Delta x+(Delta x)^2}{Delta x} =lim_{Delta xto 0} frac{Delta x(-8+2x+Delta x)}{Delta x} =\\=lim_{Delta xto 0} (2x-8+underbrace {Delta x}_{0})=2x-8$