Question

1.Знаменатель несократимой дроби на 1 больше числителя. Если числитель и знаменатель дроби увеличить на 1, то дробь увеличится на 1/12. Найдите эту дробь.

2.Туристы на моторной лодке отправились по реке от одной пристани к другой и через 2,5 ч вернулись обратно, затратив на стоянку 25 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 20 км/ч, а расстояние между пристанями 20 км. 

Answer 1

Пусть числитель дроби равен х, тогда знаменатель - (х+1). Если числитель и знаменатель дроби увеличить на 1: $dfrac{x+1}{x+2}$, то дробь увеличится на 1/12

Составим уравнение

$dfrac{x+1}{x+2}-dfrac{x}{x+1}=dfrac{1}{12}~~~bigg|cdot 12(x+1)(x+2)ne0\ \ 12(x+1)^2-12x(x+2)=(x+1)(x+2)\ \ 12x^2+24x+12-12x^2-24x=x^2+3x+2\ \ x^2+3x-10=0$

По теореме Виета

x1 = -5

x2 = 2

5/4 - не соответствует условию.

Исходная дробь: 2/3.

2) Пусть скорость течения реки равна х км/ч, тогда скорость против течения равна (20-x) км/ч, а по течению (20+x) км/ч. Время движения против течения равно 20/(20-x) часов, а по течению - 20/(20+x) часов. На весь путь лодка затратила 2.5 - 25/60= 2.5-5/12 = 25/12 часов.

Составим уравнение:

$dfrac{20}{20-x}+dfrac{20}{20+x}=dfrac{25}{12}~~~bigg|cdot frac{12}{5}(20-x)(20+x)\ \ 48(20+x)+48(20-x)=5(20-x)(20+x)\ \ 960+48x+960-48x=2000-5x^2\ \ 5x^2=80\ \ x^2=16\ \ x=pm4$

Корень х=-4 не удовлетворяет условию.

Ответ: скорость течения реки равна 4 км/ч.