Question

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R,касающаяся стороны AC в точке M ,причём AM=5R,CM=1,5R
А)докажите что треугольник ABC прямоугольный
Б) найдите расстояние между центрам его вписанной и описанной окружностей ,если известно что R=4

Answer 1

А) Пусть O – центр окружности. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. АО – биссектриса угла BAC. AOD – прямоугольный и равнобедренный треугольник, его угол OAD равен 45°. Следовательно,  угол BAC равен 90°.
Б) Пусть BF = x. Согласно теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, AE = AD = 5, CF = CD = 15 и BE = BF. Согласно теореме Пифагора, BC² = AC² + AB².
(15 + x)² = 20² + (5 + x)².
x = 10.
Следовательно, BC = 25.
sin ∠ABC = AC/BC = 20/25 = 4/5.
S △BEF = ½ BE * BF sin ∠ABC = ½ * 10 * 10 * 4/5 = 40.
Ответ: 40.

Answer 2

Почему AOD – прямоугольный и равнобедренный треугольник?