Question

Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию? При положительном ответе укажите знаменатель прогрессии.

Answer 1

Пусть катеты будут равны x и xq, а гипотенуза - xq². Тогда по теореме Пифагора:
x² + x²q² = x²q⁴

x² (q⁴ - q² - 1) = 0
Произведение равно нулю, если хотя один из множителей равен нулю
$q^4-q^2-1=0$
Решим последнее уравнение как квадратное уравнение относительно $q^2$.
$D=b^2-4ac=(-1)^2-4cdot1cdot(-1)=5\ \ q^2= dfrac{1- sqrt{5} }{2}$
Это уравнение решений не имеет.
$q^2=dfrac{1+ sqrt{5} }{2} ;~~~~~Rightarrow~~~~~ boxed{q= sqrt{dfrac{1+ sqrt{5} }{2} } }$

Теперь рассмотрим другой случай. Пусть x - гипотенуза, тогда xq и xq² - катеты. Согласно теореме Пифагора:
    x² = x²q² + x²q⁴
1 = q² + q⁴
q⁴ + q² -1 = 0        (*)
Решаем последнее уравнение (*) , как квадратное уравнение относительно q²
$D=b^2-4ac=1^2-4cdot1cdot(-1)=5\ \ q^2= dfrac{-1- sqrt{5} }{2}$
Это уравнение действительных корней не имеет.

$q^2= dfrac{ sqrt{5} -1}{2} ;~~~~~~Rightarrow~~~~~ boxed{q=sqrt{dfrac{ sqrt{5} -1}{2} }}$

Этот случай получается из предыдущего заменой $q$ на $frac{1}{q}$