Question

Дана трапеция ABCD (AD || BC). Проведены её диагонали. Основания трапеции = 12 и 18. АС = 15, ВD = 25 (диагонали). Нужно найти ВО, АО, СO, DO.

Answer 1

треугольники аод и сов - подобны, по признаку равенство углов
ад:ао:од = вс:со:во = 18:12 = 3:2

1)
ао:ос = 3:2
2*ао=3*ос
ао+ос = 15
ао=15-ос
2*(15-ос)=3*ос
2*15=5*ос
ос=2*15/5=6
ао=15-ос=15-6=9
значит ао=9;ос= 6

2)
до:во = 3:2
до+во = 25
решение аналогичное
......
 до=15;во= 10

ответ ао=9;ос= 6 ; до=15;во= 10

Answer 2

Точно так же равны углы DBC и BDA. Теперь, если посмотреть на треугольники, образованные диагоналями и основаниями - то есть треугольники BCO и ADO, то получается, что у них есть две пары равных углов. А это - признак подобия. А - читайте внимательно! - если треугольники подобны, то их стороны ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ. Вот для этого и доказывалось равенство углов - чтобы ВОТ ТАК НАХАЛЬНО :) заявить, что стороны ADO и BCO пропорциональны :)

Answer 3

Пропорциональность сторон сразу позволяет все найти, потому что она означает, что AO/CO = AD/BC; ну, и AO + OC = AC; это уже простенькая арифметика для второго класса :)

Answer 4

Еще раз - логика решения такая. 1) видим равные углы 2) указываем подобные треугольники (подобие - следствие равенства углов) 3) записываем пропорции, которые следуют из подобия 4) считаем ответ. Простая демонстрация МОГУЩЕСТВА подобия. Это не просто там какие-то углы, или стороны. Это ЖЕСТКАЯ СВЯЗЬ - равенство углов автоматически означает пропорциональность сторон, И НАОБОРОТ.

Answer 5

Кстати, решение системы AO/CO = AD/BC; AO + OC = AC; можно записать AO = AC*AD/(AD + BC); CO = AC*BC/(AD + BC); это ответ в общем случае, как видите, ничего японского тут нет :)

Answer 6

Само собой, точно также находятся и отрезки второй диагонали BO = BD*BC/(AD + BC); DO = BD*AD/(AD + BC); отношение их равно отношению оснований, а сумма - длине диагонали.