Question

Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(0;1), В(1;-4), С(5;2) а)найдите координаты середины D стороны ВСб) Докажите, что АD⊥ВС

Answer 1

$x_D= frac{x_B+x_C}{2}= frac{1+5}{2}=3 \ \ y_D= frac{y_B+y_C}{2}= frac{-4+2}{2}=-1$

Уравнение прямой ВС

$frac{x-x_B}{x_C-x_B}= frac{y-y_B}{y_C-y_B} \ \ frac{x-1}{5-1}= frac{y-(-4)}{2-(-4)} \ \ frac{x-1}{4}= frac{y+4}{6} \ \ 6cdot(x-1)=4cdot(y+4) \ \ 6x-4y-22=0$
 Нормальный вектор прямой ВС 

$vec n_{BC}(6;-4)$

Уравнение прямой AD

$frac{x-x_A}{x_D-x_A}= frac{y-y_A}{y_D-y_A} \ \ frac{x-0}{3-0}= frac{y-1}{-1-1} \ \ frac{x}{3}= frac{y-1}{-2} \ \ -2cdot x=3cdot(y-1) \ \ 2x+3y-3=0$
Нормальный вектор прямой AD

$vec n_{AD}(2;3)$

Нормальные векторы ортогональны, так как их скалярное произведение

$vec n_{BC}(6;-4)cdot vec n_{AD}(2;3)=6cdot 2+(-4)cdot 3=12-12=0$

Значит и прямые ВС и AD  перпендикулярны