Question

1. Выразить cos(a) через  tg(a/2).

2. Дано tg a=2/3 (0<a<90). Найдите sin2a, cos2a,tg2a

Answer 1

$cos alpha=cos^2frac{alpha}{2}-sin^2frac{alpha}{2}=(cosfrac{alpha}{2}-sinfrac{alpha}{2})(cosfrac{alpha}{2}+sinfrac{alpha}{2})=\ \ =cosfrac{alpha}{2}(1-{rm tg}frac{alpha}{2})cdot cosfrac{alpha}{2}(1+{rm tg}frac{alpha}{2})=cos^2frac{alpha}{2}(1-{rm tg}^2frac{alpha}{2})=boxed{dfrac{1-{rm tg}^2frac{alpha}{2}}{1+{rm tg}^2frac{alpha}{2}}}$

P.S. $cos^2frac{alpha}{2}=dfrac{1}{1+{rm tg}^2frac{alpha}{2}}$ - известное тождество.

2) Так как α ∈ (0°;90°) - I четверть, то в этой четверти синус и косинус положительные, тогда из тождества $cos^2alpha=dfrac{1}{1+{rm tg}^2alpha}$, найдем косинус

$cos alpha =sqrt{dfrac{1}{1+{rm tg}^2alpha}}=sqrt{dfrac{1}{1+bigg(dfrac{2}{3}bigg)^2}}=sqrt{dfrac{9}{9+4}}=dfrac{3}{sqrt{13}}$

$sinalpha=sqrt{1-cos^2alpha}=sqrt{1-bigg(dfrac{3}{sqrt{13}}bigg)^2}=dfrac{2}{sqrt{13}}$

$sin2alpha=2sinalphacosalpha=2cdotdfrac{2}{sqrt{13}}cdot dfrac{3}{sqrt{13}}=dfrac{12}{13}\ \ cos2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha=bigg(dfrac{3}{sqrt{13}}bigg)^2-bigg(dfrac{2}{sqrt{13}}bigg)^2=dfrac{5}{13}\ \ \{rm tg}2alpha=dfrac{sin2alpha}{cos2alpha}=dfrac{dfrac{12}{13}}{dfrac{5}{13}}=dfrac{12}{5}=2.4$