в правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите двугранный угол, образованный гранями SAB и SBC.
(рисунок прилагается)
Ответы
Все боковые грани - равносторонние треугольники. Поэтому, если провести плоскость через точка А, С и К - середину SB, то в грани SАB АК - перпендикляр на SB, точно так же и СК будет перпендикулярно SB, поэтому плоскость АСК, где К - середина SB, перпендикулярна SB, и угол АКС и есть нужный линейный угол двугранного угла между плоскостями SAB и SBC.
Поэтому угол АКС, который надо найти, равен углу при вершине в равнобедренном треугольнике АКС, АК = КС = √3/2 (высоты в правильных треугольниках со стороной 1), АС = √2/2 (диагональ квадрата со стороной 1).
(можно "забыть" о двойках в знаменателе, то есть попросту удвоить стороны, угол от этого не изменится, то есть у треугольника стороны √3 √3 и √2, надо найти угол напротив стороны √2)
Если обозначить Ф - угол АКС, cos(Ф) = х, то по теореме косинусов
2 = 3 +3 - 2*3*x;
6*x = 4; x = 2/3;
Ф = arccos(2/3)