Question

Помогите решить неравенства
1.sqrt(3x+8) 2. sqrt(x+15)<5-x
3. sqrt(4-x^2)*(3x+4)=>0

Answer 1

1.$sqrt{3x+8} textless sqrt{2-3x}; left { {{3x+8 geq 0} atop {3x+8 textless 2-3x}} right.; left { {{x geq - frac{8}{3} } atop {x textless -1}} right.;$ x∈[-8/3;+∞);
2.$sqrt{x+15} textless 5-x; left { {{x+15 geq 0;5-x textgreater 0} atop {(x+15) textless (5-x)^2}} right.; left { {{x geq -15;x textless 5} atop {x+15 textless x^2-10x+25}} right.; left { {{-15 leq x textless 5}(1) atop {x^2-11x+10 textgreater 0}(2)} right. ; \ (2): x^2-11x+10=(x-x_1)(x-x_2); x^2-11x+10=0; a+b+c=0; \ left { {{x_1=1} atop {x_2= frac{c}{a}=10 }} right.; (x-1)(x-10) textgreater 0;$ По методу интервалов получаем, что
x∈(-∞;1)∨(10;+∞); а ещё имеем в системе x∈[-15;5), найдя общие решения, получаем x∈[-15;1)
3.$sqrt{4-x^2}*(3x+4) geq 0;$ Так как корень всегда неотрицателен, то первый множитель существует при всей области его определения, которая x∈[-2;2]; второй множитель тоже должен быть неотрицательным (а если бы первый мог быть отрицательным, то нужно было бы рассматривать дополнительный случай, когда ОБА ОДНОВРЕМЕННО отрицательные)
$left { {{-2 leq x leq 2} atop {3x+4 geq 0}} right.; left { {{-2 leq x leq 2} atop {x geq - frac{4}{3} }} right.; -1 frac{1}{3} leq x leq 2;$ x∈[-$-1 frac{1}{3}$;2]

Answer 2

1. sqrt(3x+8)<sqrt(2-3х)
3x+8≥0; x≥-8/3. 2-3x≥0, x≤2/3, -8/3≤x≤2/3.
3x+8<2-3x, 6x<-6, x<-1.
Ответ -8/3≤х≤-1.

2. sqrt(x+15)<5-x.
x≥-15, 5-x≥0; x≤5. -15≤x≤5.
x+15< 25-10x+x².
x²-11x+10>0.
x1=1, x2=10.
x∈(-∞;1)U(5;+∞),
Ответ:
x∈[-15;1).

3.sqrt(4-x^2)*(3x+4)=>0.
4-x^2≥0, x∈[-2;2]
3x+4>0, x>-4/3.
x∈(-4/3;2],
Ответ: x∈(-4/3;2].