Question

В окружность вписаны правильные треугольник и четырехугольник. Чему равно отношение сторон треугольника и четырехугольника?

Answer 1

Правильный четырехугольник- это квадрат, квадрат вписан в окружность, значит его диагональ является диаметром описанной окружности
Пусть сторона квадрата равна b
тогда
2R=b√2    ⇒     R=b√2/2

Радиус описанной около правильного треугольника окружности выражаем через сторону правильного треугольника а.

Найдем высоту правильного треугольника
h=a·sin 60°=a√3/2
Высота  равностороннего треугольника является одновременно и медианой
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1,  считая от вершины
Точка пересечения медиан правильного треугольника является одновременно и радиусом описанной и радиусом вписанной окружности
R=(2/3)·H=(2/3)·a·(√3/2)=a√3/3

ПОЛЕЗНО ЗАПОМНИТЬ
R=a√3/3

Радиус один и тот же

b√2/2=a√3/3     ⇒  3b√2=2a√3      a:b=3√2:2√3=√3:√2
Ответ. отношение сторон треугольника и четырехугольника равно √3:√2