Question

квадрат ABIJ лежит внутри правильно восьмиуголника ABCDEFGH со стороной 1. Найдите длину отрезка CJ

Answer 1

Из точки С на сторону квадрата AJ опустим перпендикуляр. Точку пересечения со стороной BI назовем К, со стороной AJ назовем N. Продлим сторону JI до пересечения со стороной восьмиугольника  CD. Точку пересечения назовем буквой L. Рассмотрим треугольник BKC. Угол BKC -прямой, CK перпендикуляр к BI. УголABC=135 градусов, как угол между сторонами правильного восьмиугольника. Угол ABK=90 градусов, как угол квадрата, отсюда угол CBK=135-90=45 градусов, и угол BCK=45 градусов. Треугольник BCK -прямоугольный и равнобедренный. Рассмотрим четырехугольник CLJN диагональ CJ, которого является искомым расстоянием. Угол NCD прямой, так как угол BCD=135, угол BCK=45, Угол NCD=135-45=90. Сторона NK перпендикулярна AJ, Следовательно KN параллельна IJ. Значит CLJN прямоугольник. Надо вычислить диагональ  CJ. Из треугольгика BKC:CK=BK, 2CK²=1², CK²=1/2, CK=1/√2, NC=NK+CK=1+1/√2.
 NJ=AJ-AN=BI-BK=1-1/√2.
JC²=NC²-NJ²= (1+1/√2)²+(1-1/√2)²=1+2·1/√2+1/2+1-2·1/√2+1/2=1+1/2+1+1/2=3
JC=√3
расстояние CJ=√3.