Question

Решить неравенство.
Логарифм корня из 3х+4 по основанию 2 умножить на логарифм 2 по основанию х больше единицы.

Answer 1

$log_2sqrt{3x+4}cdot log_{x}2 textgreater 1; ,; ; OOF:; ; left { {{3x+4 textgreater 0} atop {x textgreater 0,; xne 1}} right. \\frac{log_2sqrt{3x+4}}{log_2x} textgreater 1; ; Rightarrow ; \\a) left { {{log_2x textgreater 0} atop {log_2sqrt{3x+4} textgreater log_2x}} right. ; ,; left { {{x textgreater 1} atop {sqrt{3x+4} textgreater x}} right. \\sqrt{3x+4} textgreater x; to ; left { {{3x+4 textgreater x^2} atop {x > 0}} right. ; ; ili; ; left { {{3x+4 geq 0} atop {x textless 0; }} right. ; ; (x textless 0; notin OOF)$

 $left { {{x^2-3x-4 textless 0} atop {x >0}} right. ;$ $left { {{-1 textless x textless 4} atop {x > 0,xne 1}} right. ; to ; xin ( 0,1)cup (1,4)$ 

$b) left { {{log_2x textless 0} atop {log_2sqrt{3x+4} textless log_2x}} right. ; ,; left { {{0 textless x textless 1} atop {sqrt{3x+4} textless x}} right. ; ,; left { {{0 textless x textless 1} atop {3x+4 textless x^2,; 3x+4 geq 0,; x textgreater 0}} right. ; ,\\x^2-3x-4 textgreater 0; ; to ; ; xin (-infty ,-1)cup (4,+infty ); ,; ; x textgreater 0\\ left { {{0 textless x textless 1} atop {xin (4,+infty )}} right. ; ; to ; ; xin varnothing$

Ответ:  $xin( 0,1)cup (1,4)$ .

Answer 2

Спасибо за идею. Но в решении ошибки. В случае а) потеряно условие х больше единицы. В случае b) Числитель и знаменатель должны быть меньше нуля, но логарифм корня все равно больше логарифма х, чтоб дробь была больше единицы. Ответ (1; 4).

Answer 3

С пунктом а) согласна. Упустила условие х>1. Тогда х Є (1,4). А в пункте б) всё правильно . Дробь сравнивается с 1, а не с нулём. Поэтому два случая, когда знаменатель >0 и <0. От этого зависит знак неравенства , меняется он при умножении дроби на отрицательный логарифм (log(2)x) или на положительный. И ответ окончательный хЄ (1,4).

Answer 4

А вообще-то можно применить более лёгкий способ: метод рационализации.Если дробь во 2 строчке заменить на log(x)(sqrt(3x+4))>1 ---> (x-1)(sqrt(3x+4)-х)>0 .....