Question

В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка М так, что АМ:ВМ=17:25. Окружность радиуса 15 с центром в точке М касается прямых АС и ВС. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ=42.

(ответ должен получится  472,5)

и сделайте чертёж)

Answer 1

Хорошее условие, я даже сканер пошел присоединять :))) 

Ясно, что СМ - биссектриса угла АСВ. 

Далее, АМ = 17, ВМ = 25 (это легко проверить, АВ = 42).

МК и МЕ - перпендикуляры из точки М на стороны угла АСВ, по условию МК = МЕ = 15.

Если внимательно посмотреть на треугольники АКМ и ЕВМ, то это - Пифагоровы треугольники (это - необязательно, АК и ЕВ можно вычислить просто по теореме Пифагора, просто так ошибиться труднее :)) со сторонами 8, 15, 17 и 15, 20, 25.

То есть АК = 8, ВЕ = 20.

Пусть СК = СЕ = х, тогда АС = х + 8, ВС = х + 20.

По свойству биссектрисы АС/ВС = 17/25

(х + 8)/(х + 20) = 17/25;

25*x + 200 = 17*x + 340;

8*x = 140; x = 35/2;

Площадь АВС проще всего сосчитать так - сумма площадей АКМ, МЕВ и двух одинаковых треугольников МКС и МЕС.

S = 8*15/2 + 20*15/2 + (35/2)*15 = 60+150 + 262,5 = 472,5