Question

Помогите пожалуйста, срочно!!

Answer 1

Открытый бак имеет форму цилиндра объемом 27пи м3. Какими должны быть радиус основания и высота чтобы на его изготовление ушло меньше материалов?

Решение –
Объем цилиндра равен
                       V = 27π
Площадь поверхности цилиндра равна
                      S = Sбок + 2Soсн =2πRH +2πR²
     Для минимального расхода материла на изготовление бака необходимо чтобы площадь бака была минимальной. Поэтому требуется , чтобы при заданном объеме V его полная поверхность была наименьшей.
        Но S явля­ется функцией двух переменных R и Н. Исключим одну из этих переменных с помощью условия                                   
                          V = πR²H, 
в которому - величина V известная. 
Получим
                       $H= frac{V}{{pi}R^2}$          

                $S = 2{pi}R*frac{V}{{pi}R^2} +2{pi}R^2= frac{2V}{R} +2{pi}R^2$         

   Теперь уже S - функция только одной независимой переменной R.
 На­ходим производную S'(R):
         $S'= (frac{2V}{R} +2{pi}R^2)'=4{pi}R- frac{2V}{R^2}= frac{4{pi}R^3-2V}{R^2}$   
     Находим критические точки
                         S’ =0                или $frac{4{pi}R^3-2V}{R^2} =0$
                      $R= sqrt[3]{ frac{V}{2{pi}}}$
Находим S"(R) дня определения характера экстремума функции
       $S''=(4{pi}R-frac{2V}{R^2})'=4{pi} +frac{6V}{R^3}$

 Очевидно, что S"(R) > 0 при любом R.
Это означает, что в точке $R= sqrt[3]{ frac{V}{2{pi}} }$ функция S имеет  минимум, а вместе с тем и наименьшее значение.

Подставляем найденное R в выражение Н, получаем:
    $H= frac{V}{{pi}R^2} = frac{V }{{pi} sqrt[3]{ frac{V^2}{4{pi}^2} } }= sqrt[3]{ frac{V^3*4{pi}^2}{{pi}^3V^2}}= sqrt[3]{ frac{V*8}{2{pi}}}=2sqrt[3]{ frac{V}{2{pi}}}=2R$

Таким образом, на изготовление цилиндра заданного объема будет употреблено наименьшее количество материала, если взять высоту цилиндра равной диаметру.
Подставим значение объема и найдем радиус и высоту
$R= sqrt[3]{ frac{27{pi}}{2{pi}} }= frac{3}{ sqrt[3]{2}}$≈2,381(м)
$H=2R=2*frac{3}{ sqrt[3]{2}}=3 sqrt[3]{4}$≈4,762(м)