Question

5. Известно, что и сумма и произведение двух натуральных чисел a и b — квадраты натуральных чисел. Докажите, что число |16a-9b| — не простое.

Answer 1

Пусть в силу условия
$a+b=x^2$ (1)
$ab=y^2$ (2)
где х, y - некоторые натуральные числа

Предположим что $b geq a$
тогда из второго соотношения (2) следует что
$b=ak^2$
где k - некоторое натуральное число

откуда
$|16a-9b|=|16a-9ak^2|=|a(16-9k^2)|=\\|a||16-9k^2|=a|16-9k^2|$
а значит число |16a-9b| сложное если
$|16-9k^2| neq 1$
и $a neq 1$

Рассмотрим варианты
1) $a=1$
$b+1=x^2$
$b=y^2$
что невозможно - два последовательных натуральных числа не могут быть квадратами натуральных чисел
(доказательство єтого факта
$(b+1)-b=x^2-y^2$
$1=(x-y)(x+y)$
$1=x-y$
$1=x+y$
=>x=1; y=0
)
2) $16-9k^2=1$
$15=9k^2$
$5=3k^2$
=> k - ненатуральное -- невозможно
3) $16-9k^2=-1$
$17=9k^2$
=> k - ненатуральное - невозможно
тем самым окончательно доказали,что исходное утверждение верно.

Случай когда $a<b$ 
Учитывая симметричность выражений a+b=b+a, ab=ba
доказывается аналогично.
Доказано