Question

Пожалуйста , решите систему уравнений, исследовав на совместность по теореме Кронекера-Капелли:
2x-х+3х=-5
0+2х+х=4
х+х+х=3

Answer 1

Определение: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

$left(begin{array}{ccc}2&-1&3\0&2&1\1&1&1end{array}right| leftbegin{array}{ccc}-5\4\3end{array}right)$
упростить матрицу в ступенчатый вид.
$left(begin{array}{ccc}2&-1&3\0&2&1\1&1&1end{array}right| leftbegin{array}{ccc}-5\4\3end{array}right)^{(Ileftrightarrow III)}=left(begin{array}{ccc}1&1&1\0&2&1\2&-1&3end{array}right| leftbegin{array}{ccc}3\4\-5end{array}right)^{(III-2cdot I)}=\=left(begin{array}{ccc}1&1&1\0&2&1\0&-3&1end{array}right| leftbegin{array}{ccc}3\4\-11end{array}right)^{(III+ frac{3}{2}II )}=$$left(begin{array}{ccc}1&1&1\0&2&1\0&0& frac{5}{2} end{array}right| leftbegin{array}{ccc}-5\4\-5end{array}right)$
Ранг основной матрицы равен 3, а расширенной - 3
$3=3$, значит $r(A)= r'(A)$ система  совместна, тоесть система имеет единственное решение
$begin{cases} & text{ } x_1+x_2+x_3=3 \ & text{ } ,,,,,,,,,,,,2x_2+x_3=4 \ & text{ } ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,frac{5}{2} x_3=-5 end{cases}Rightarrowbegin{cases} & text{ } x_1=2 \ & text{ } x_2=3 \ & text{ } x_3=-2 end{cases}$

Окончательный ответ: $(2;3;-2)$