Question

Решите пожалуйста пределы (математика):
1) lim (x стремится к 9) (x-9)/(√(x)-3)
2) lim (x стремится к 0) (3x)/(√(1+x)- √(1-x))
3) lim (x стремится к 4) (2-√(x))/(√(6x+1)-5)
4) lim (x стремится к 3) (x^3-27)/(√(3x)-x)

Answer 1

$lim_{x to 9} frac{x-9}{ sqrt{x}-3 }= lim_{x to 9} frac{(sqrt{x}-3)(sqrt{x}+3)}{ sqrt{x}-3 }=lim_{x to 9} sqrt{x}+3=6$

$lim_{x to 0} frac{3x}{ sqrt{1+x}-sqrt{1-x}}= lim_{x to 0} frac{3x(sqrt{1+x}+sqrt{1-x})}{1+x-1+x}=lim_{x to 0} frac{3(sqrt{1+x}+sqrt{1-x})}{2} =3$

$lim_{x to 4} frac{2- sqrt{x}}{ sqrt{6x+1}-5}= lim_{x to 4} frac{(2- sqrt{x})(sqrt{6x+1}+5)}{ 6x-24} = \ = lim_{x to 4} frac{(2- sqrt{x})(sqrt{6x+1}+5)}{ 6(x-4)}= lim_{x to 4} frac{(2- sqrt{x})(sqrt{6x+1}+5)}{ 6( sqrt{x} -2)(sqrt{x} +2)} = \ =lim_{x to 4} -frac{(sqrt{x}-2)(sqrt{6x+1}+5)}{ 6( sqrt{x} -2)(sqrt{x} +2)} = lim_{x to 4} -frac{sqrt{6x+1}+5}{ 6(sqrt{x} +2)} = -frac{10}{24}= -frac{5}{12}$

$lim_{x to 3} frac{x^3-27}{ sqrt{3x}-x} = lim_{x to 3} frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{ sqrt{x}( sqrt{3}-sqrt{x})} = \ = lim_{x to 3} frac{( sqrt{x}-sqrt{3})( sqrt{x}+sqrt{3}))(x^2+3x+9)}{ sqrt{x}( sqrt{3}-sqrt{x})} = \ = lim_{x to 3} -frac{( sqrt{3}-sqrt{x})( sqrt{x}+sqrt{3}))(x^2+3x+9)}{ sqrt{x}( sqrt{3}-sqrt{x})} = \ =lim_{x to 3} -frac{( sqrt{x}+sqrt{3})(x^2+3x+9)}{ sqrt{x}} = -frac{2 sqrt{3}*27 }{ sqrt{3} } =-54$