Question

Найдите центр окружности, проходящей через точку М(-2;5) и касающейся оси Ох в точки Н(3;0)

Answer 1

Пусть центр окружности находится в точке O с координатами (x;y).
Точки M и H лежат на окружности, т.е. длины отрезков OM и OH равны.
Окружность касается оси X в точке H. В точке касания радиус перпендикулярен касательной. Это означает, что радиус OH перпендикулярен оси X, следовательно, центр окружности лежит на прямой x=3. Значит, координата x центра окружности равна 3.

Т.о., необходимо определить только координату y. При этом y должен быть положительным, т.к. центр окружности и точка M лежат по одну сторону от касательной - оси X.

Т.к. равны длины отрезков, значит, равны и квадраты длин.
Квадрат длины отрезка OH равен y².
Квадрат длины отрезка OM равен (3-(-2))²+(y-5)² = 25+(y-5)².

Т.о., имеем уравнение:
y² = 25 + (y - 5)²
y² = 25 + y² - 10y + 25
10y = 50
y = 5

Ответ: центр окружности находится в точке (3; 5).