Question

Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 13см, 20см, 21см. Вычислите площадь поверхности пирамиды, если двугранные углы при основании пирамиды равны 30 градусов.

Answer 1

Если двугранные углы при основании пирамиды равны, то апофемы боковых сторон равны. И второй вывод: основание высоты пирамиды находится на пересечении биссектрис треугольника основания пирамиды.
Находим площадь основания и радиус вписанной в него окружности:
$So= sqrt{ frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p} } = sqrt{ frac{27*(27-13)(27-20)(27-21)}{27} } =126.$
Здесь р - полупериметр, равный (13+20+21)/2 = 27.
Отсюда $r= frac{S}{p}= frac{126}{27} = frac{14}{3} =4,66667.$
Апофемы всех боковых граней равны:
$A= frac{r}{cos30}= frac{14*2}{3* sqrt{3} } = frac{28}{3 sqrt{3} }$ =  2.694301 см.
Площадь боковой поверхности пирамиды складывается из площадей боковых граней: 
стороны а = 13 см: $S= frac{1}{2}* 13*A= frac{1}{2} *13*$ 2.694301 =  17.51296 см².
стороны в = 20 см:  0.5 *20* 2.694301 = 26.94301 см².
стороны с = 21 см:  0.5* 21 *2.694301 = 26.94301 см².
Sбок = 17.51296 + 26.94301 + 26.94301 =  72.74613 см².
S = So + Sбок = 126 + 72.7461 =  198.7461 см².