ABCD- прямоугольная трапеция. угол A =90 гградусов. точка E лежит на основании AD так, что CE перпендикулярно AD и AE=DE. Точка O середина диогонали AC. Докажите,что BO:BC=CD:AD. Найдите площадь пятиугольника ABOCD,если площадь ACD Равна 20 квадратным сантиметрам.
Ответы
Основания трапеции параллельны.
ВС║АD, АВ- секущая.
∠А=90°(дано) ⇒ ∠В=90°
СЕ⊥АD⇒ АВСD- прямоугольник.
СЕ=АВ
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
а) ∆ ВОС=∆ АОЕ
Е - середина АD, О - середина АС. ⇒
ОЕ - средняя линия ∆ АСD и параллельна СD.
∆ ACD и ∆ АОЕ подобны ( равны соответственные углы при основаниях). Т.к. ∆ ВОС=∆ АОЕ, то и ∆ ВОС подобен ∆ АСD
В подобных треугольниках отношение сходственных сторон равны ⇒ ВО:ВС=СD:AD
б) СЕ - высота ∆ АСD, АЕ=ЕD.
Треугольники АСЕ и DCE равны по двум катетам.
Площадь ∆ АСЕ=∆ DСЕ= 20:2=10 см²
В прямоугольных ∆ ВАЕ и ∆ СЕD равны катеты. ⇒
∆ АВЕ = ∆ СЕD
В ∆ АВЕ отрезок АО медиана,
Медиана треугольника делит его на равновеликие треугольники.
АОВ и АОЕ равновелики.
Ѕ АОВ=0,5•Ѕ(АВЕ)=10:2=5см²
Ѕ ABOCD=S(ACD)+S(ABO)=20+5=25 см²
