Question

Найдите производные

1) f(x)=sin x *(cosx-1)

2) f(x)=x^2*ctgx

3) f(x)=cos x (1+sinx)

4) f(x)=x^3*tgx

(решение опишите подробно)

Answer 1

$1) f(x)=sinx*(cosx-1)\ f'(x)=cosx*(cosx-1)+sinx*(-sinx)=\ =cos^2x-cosx-sin^2x$

Дальше можно упрощать, конечно, но оно впринципе не трубется. Нас просят найти производную.

Находится здесь как производная произведения (u*v)'=u'*v+u*v'

Собственно дальше думаю понятно, что (sinx)'=cosx, (cosx-1)'=-sinx

 

$2) f(x)=x^2*ctgx; \ f'(x)=2x*ctgx+x^2(-frac{1}{sin^2x})=2x*ctgx-frac{x^2}{sin^2x}$

опять же производная произведения. x^2 дифференцируется как степенная функция, ctgx - табличное значение, (ctgx)'=-1/sin^2x

 

$3)f(x)=cosx (1+sinx)\ f'(x)=-sinx(1+sinx)+cosx*cosx=\-sinx-sin^2x+cos^2x= cos^2x-sinx-sin^2x$

пример аналогичен первому, и снова производная произведения.

(cosx)'=-sinx, (1+sinx)'=cosx

 

$4)f(x)=x^3*tgx\ f'(x)=3x^2*tgx+x^3*frac{1}{cos^2x}=3x^2*tgx+frac{x^3}{cos^2x}$

опять же можно упростить, вынести x, в степень взять и т.д., и т.п., но этого не трубется.

x^3 степенная функция, (x^3)'=3x^2, tgx табличное значение, (tgx)'=1/cos^2x

дифференцируется опять же как производная произведения.