Question

вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями
x=1/2*cos[t]-1/4*cos[2t],
y=1/2*sin[t]-1/4*sin[2t],
p/2<=t<=2p/3

Answer 1

              $x (t) = dfrac{1}{2} cos t dfrac{1}{4} cos 2t \ \ y(t) = dfrac {1}{2} sin t - dfrac{1}{4} sin2t \ \ dfrac {pi}{2} leq t leq dfrac{2 pi} {3} \ \ displaystyle L = int_ {pi / 2} ^ {2 pi / 3} sqrt {left (- dfrac{1}{2} sin t + dfrac{1}{2} sin 2t right)^2 + left (dfrac{1}{2} cos t - dfrac{1}{2} cos 2t right)^2} ; dt \ \ \ L = int _ {pi / 2 }^{2pi / 3} sqrt {dfrac{1}{2} - dfrac{1}{2} sin t sin 2t- dfrac{1}{2} cos t cos 2t } ; dt$

             $displaystyle L = int_{pi / 2}^{2 pi / 3} sqrt {dfrac{1}{2} - dfrac{1}{2} cos t} ; dt \ \ \ L=int_{pi / 2}^{2pi / 3} sindfrac{t}{2} ; dt \ \ \ L=-dfrac{1}{2} left.left (cos dfrac{t}{2}right)right|_ {pi/2}^{2pi / 3}$

             $L=-dfrac{1}{2}left(cosdfrac{pi}{3}-cosdfrac{pi}{4}right) \ \ \ L=-dfrac{1}{2}left(dfrac{1}{2} - dfrac{sqrt {2}}{2} right) \ \ \ boxed{L=dfrac{sqrt{2}-1}{4}}$

Made in Perú