Question

Дано: sin x - sin y = m ; cos x+cos y = n
найти: sin (x-y) =? и cos(x-y)=?

Answer 1

Дано: sinx-siny=m; cosx+cosy=n. Найти: sin(x-y) и cos(x-y).
Решение:
1. Воспользуемся формулами разность синусов и сумма косинусов:
$sinx-siny=2sin frac{x-y}{2}cos frac{x+y}{2}=m; cosx+cosy=2cos frac{x+y}{2}cos frac{x-y}{2}=n.$
Заметим, что оба равенства содержат один и тот же член: $cos frac{x+y}{2}$. Выразим его из обоих равенств:
$cos frac{x+y}{2}= frac{m}{2sin frac{x-y}{2}};cos frac{x+y}{2}= frac{n}{2cos frac{x-y}{2}}.$
В получившихся равенствах левые части равны, значит, равны и правые части:
$frac{m}{2sin frac{x-y}{2}}= frac{n}{2cos frac{x-y}{2}}$.
Преобразуем данное равенство:
$frac{2sin frac{x-y}{2}}{2cos frac{x-y}{2}}= frac{m}{n};$
$frac{sin frac{x-y}{2}}{cos frac{x-y}{2}}= frac{m}{n};$
$( frac{sin frac{x-y}{2}}{cos frac{x-y}{2}})^{2}=( frac{m}{n})^{2};$
$frac{sin^{2} frac{x-y}{2}}{cos^{2} frac{x-y}{2}}= frac{m^{2}}{n^{2}};$
Теперь используем формулы понижения степени синуса и косинуса:
$frac{1-cos(x-y)}{2}: frac{1+cos(x-y)}{2}= frac{m^{2}}{n^{2}};$
Преобразуем данное равенство:
$frac{1-cos(x-y)}{1+cos(x-y)}= frac{m^{2}}{n^{2}};$
n²(1-cos(x-y))=m²(1+cos(x-y));
n²-n²cos(x-y)=m²+m²cos(x-y);
m²cos(x-y)+n²cos(x-y)=n²-m²;
cos(x-y)(m²+n²)=n²-m²;
$cos(x-y)= frac{n^{2}-m^{2}}{m^{2}+n^{2}}.$
Используя основное тригонометрическое тождество, выразим sin(x-y):
$sin(x-y)= sqrt{1-( frac{n^{2}-m^{2}}{m^{2}+n^{2}})^{2}}.$
Ответ: $sin(x-y)= sqrt{1-( frac{n^{2}-m^{2}}{m^{2}+n^{2}})^{2}};cos(x-y)= frac{n^{2}-m^{2}}{m^{2}+n^{2}}.$

Answer 2

ОГРОМНОЕ СПАСИБО!!!!

Answer 3

Молодчик!)

Answer 4

красиво