Question

Найти период колебаний колеса массой m и радиусом R, находящегося в ямке

Answer 1

Нарисуйте картинку. Угол между центром кольца и вертикалью назовем $Phi$. Угол, на который повернулось колесо (само) относительно состояния в положении равновесия, обозначим $varphi$. Радиус кольца - $r$, радиус ямы - $R$.
В задаче три вида энергии: кинетическая поступательного движения, кинетическая вращательного и потенциальная. Посчитаем каждую из них глядя на картинку.
Кин. эн. поступ. движения:
$T_mathrm{tr.}=frac 12 mv_mathrm{m.c.}=frac 12 m (R-r)^2dotPhi^2;$
Вращательного:
$T_mathrm{spin}=frac 12 mr^2dotvarphi^2=frac 12 mR^2dotPhi^2$
(здесь использована кинематическая связь между углами $varphi r=Phi R$)
И потенциальная:
$Pi=mgh_mathrm{m.c.}=mg(R-r)(1-cos Phi)=frac 12mg(R-r) Phi^2$
(последнее равенство, на самом деле, приближенное. Здесь использована малость угла $Phi$, а именно, первые два члена разложения косинуса в ряд Тейлора: $cos x=1-frac{x^2}{2}+o(x^4)$).
Полная энергия в процессе движения, конечно, сохраняется. Так и запишем.
$frac 12 m(R-r)^2dotPhi^2+frac 12 mR^2dotPhi^2+frac 12mg(R-r)Phi^2=mathrm{const}.$
Вообще, по школьному алгоритму нужно сейчас это уравнение продифференцировать по времени, но можно этого и не делать, а вместо этого сказать такие слова: уравнение вида $dot y^2+omega^2 y^2=mathrm{const}$ является тем, что в теоретической механике называется первым интегралом уравнения гармонического осциллятора $ddot y+omega^2 y=0$. Омеги, стоящие перед вторыми членами в этих уравнениях в силу некоторых, скорее даже, математических причин, совпадают.
Ну и все тогда, пишем квадрат круговой частоты, внимательно глядя на закон сохранения энергии.
$omega^2=frac{mg(R-r)}{m(R-r)^2+mR^2}longrightarrowboxed{T=2pileft(frac{(R-r)^2+R^2}{g(R-r)}right)^{1/2}}$
Обратите внимание, что ответ не зависит от массы кольца!

P.S. можно похулиганить немножко, предположив, что $r^2=o(R)$, то есть, что радиус ямы намного больше радиуса кольца. Тогда выражение для периода вырождается в соответствии с предположением (по рабоче-крестьянски, мы тут пренебрегаем квадратом радиуса кольца), в более красивый ответ: $T=pisqrt{frac{2g}{R}}.$
Обратите внимание, что в этом приближении ответ не зависит даже от радиуса кольца, но зависит, конечно, от радиуса ямы (который в условии очень напрасно не дан). Последнее легко видеть, положив радиус ямы равным бесконечности. Тогда у нас задача превращается в катание колеса по плоскости. В этом случае никаких колебаний нет, а формально, их период равен бесконечности. Теперь ясно, что ответ обязательно должен зависеть от радиуса ямы.