Question

помогите решить тригонометрические уравнения Sin2xsin6x=cosxcos3x. sinxsin7x=sin3xsin5x. помогите срочно , заранее благодарен

Answer 1

Тут вот какой принцип решения: применение формул для преобразования произведений тригонометрических выражений в суммы
$cos alpha cos beta = frac{1}{2}(cos( alpha + beta )+cos( alpha - beta ));$;
$sin alpha sin beta = frac{1}{2}(cos( alpha - beta )-cos( alpha + beta ))$;
$sin alpha cos beta = frac{1}{2}(sin( alpha + beta )+sin( alpha - beta ))$;
Теперь решаем наши уравнения:
1. $0,5(cos(2x-6x)-cos(2x+6x))=0,5(cos(x+3x)+cos(x-3x);$ $cos4x-cos8x=cos2x+cos4x; cos2x+cos8x=0; 2cos frac{2x+8x}{2}cosfrac{2x-8x}{2} \ =0; cos5xcos3x=0; cos5x=0; cos3x=0; x= frac{ pi }{10}+ frac{ pi k }{5}, x= frac{ pi }{6}+ frac{ pi n}{3}, \ k,n Z$. 
2.$0,5(cos(x-7x)-cos(x+7x))=0,5(cos(3x-5x)-cos(3x+5x)); \ cos6x-cos8x=cos2x-cos8x; cos6x=cos2x; cos6x-cos2x=0; \ -2sin frac{6x+2x}{2} sinfrac{6x-2x}{2}=0; sin4xsin2x=0;sin4x=0; sin2x=0;$ Здесь получается интересно, так как все решения уравнения $sin2x=0;$ входят в решения уравнения $sin4x=0;$ к слову, это что-то типа тривиальных систем/совокупностей, уже всё доказано, нам этого делать не обязательно, хотя можно изобразить все решения одного и второго ур-я и проверить, это так, к слову. $sin4x=0; x= frac{ pi m}{4}; m Z$. 
*$nZ$ и всё подобное означает, что n принадлежит множеству целых чисел, просто я не нашёл значка принадлежности в редакторе формул/уравнений на этом сайте.