Question

На боковых ребрах АА1, ВВ1 и СС1 правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 (АА1
|| ВВ1 || СС1) расположены точки К, L, и М соответственно. Известно, что угол между
прямыми KL и АВ равен pi/4 , а угол между прямыми КМ и АС - pi/3 .
а) Постройте плоскость, проходящую через точки K, L и М
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС

Answer 1

а) Постройте плоскость, проходящую через точки K, L и М - для этого надо просто соединить эти точки.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС.
Продлим отрезки КМ и KL до пересечения с плоскостью АВС. Для этого достаточно продлить стороны АС и АВ.
Точки пресечения - это Д и Е.
Примем длину отрезка АК за 1.
Из треугольника АКД отрезок АД = 1 / tg 60 = 1 / √3.
Аналогично АЕ = 1 / tg 45 = = 1 / 1 = 1.
Угол ЕАД равен 60 градусов (по заданию).
По теореме косинусов $ED= sqrt{1^2+( frac{1}{ sqrt{3}} )^2-2*1*( frac{1}{ sqrt{3} } )*cos60}=$
$= sqrt{1+ frac{1}{3} -2*1* frac{1}{ sqrt{3} }* frac{1}{2}} = sqrt{ frac{4- sqrt{3} }{3} } =0.869472866.$
Находим гипотенузы в треугольниках АКД и АКЕ.
$KD= sqrt{AK^2+AD^2} = sqrt{1+ frac{1}{3} } = frac{2}{ sqrt{3} } .$
КЕ = √(1²+1²) = √2 (острые углы по 45 градусов).
Теперь определены 3 стороны в треугольнике КЕД, угол наклона которого к плоскости АВС надо найти.
Для этого двугранный угол между основой и треугольником КДЕ надо рассечь плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения ЕД.
Находим высоты в треугольниках АЕД и КЕД по формуле:
$h _{a} = frac{2 sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} }{a} .$
АЕ         ДЕ                 АД                  p                      2p               S =
1    0.8694729    0.5773503    1.2234116    2.446823135     0.25
 haе              hде                 hад
 0.5          0.57506            0.86603 

       КЕ                ДЕ              КД              p                2p               S =
1.4142136   0.869473   1.154701   1.719194    3.43839    0.501492
       hке                hде                     hкд
0.7092           1.15356              0.86861.
Отношение высот hде и  hде  - это косинус искомого угла:
cos α = 0.57506 / 1.15356 =  0.498510913.
Ответ: α = 1.048916149 радиан =  60.09846842°.