Question

В равностороннем треугольнике ABC со стороной a проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов:
а) AB*AC; б) AC*CB; в) AC*BD; г) AC*AC

Answer 1

Скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

а)
$(vec{AB}cdot vec{AC})=ABcdot ACcdot cos BAC$
По условию все стороны треугольника равны а, а все углы равностороннего треугольника равны 60 градусов:
$(vec{AB}cdot vec{AC})=acdot acdot cos frac{ pi }{3} =acdot acdot frac{ 1 }{2} = frac{a^2}{2}$

б)
$(vec{AC}cdot vec{CB})=ACcdot CBcdot cos (vec{AC}; vec{CB})$
Чтобы определить угол между векторами АС и СВ нужно совместить их начала, например, перенести параллельным переносом вектор АС так, чтобы точка А совместилась с точкой С. Тогда будет видно, что углом между этими векторами будет угол, смежный с углом АСВ, равный 180-60=120 градусов:
$(vec{AC}cdot vec{CB})=acdot acdot cos frac{ 2pi }{3} =acdot acdot(- frac{ 1 }{2} )= -frac{a^2}{2}$

в)
$(vec{AC}cdot vec{BD})=ACcdot BDcdot cos (vec{AC}; vec{BD})$
Так как BD высота к АС, то векторы ВD и АС перпендикулярны, скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0:
$(vec{AC}cdot vec{BD})=ACcdot BDcdot cos frac{ pi }{2} =ACcdot BDcdot 0=0$

г)
Произведение вектора само на себя (скалярный квадрат) равно квадрату его модуля, угол в данном случаем между одним и тем же вектором равен нулю:
$(vec{AC}cdot vec{AC})=ACcdot ACcdot cos 0=AC^2cdot1=AC^2=a^2$