Question

Найдите множество решений системы
$left { {{x^2+xy+y^2=7} atop {x+xy+y=5}} right.$

Answer 1

$begin{cases} x^2+xy+y^2=7 \ x+xy+y=5 right end{cases}$
В первом уравнении выделим полный квадрат:
$begin{cases} x^2+2xy+y^2-xy=7 \ x+xy+y=5 right end{cases} \ begin{cases} (x+y)^2-xy=7 \ x+y+xy=5 right end{cases}$
Для удобства переобозначим: x+y=a; xy=b
$begin{cases} a^2-b=7 \ a+b=5 right end{cases}$
Складываем уравнения:
$a^2+a=12 \ a^2+a-12=0 \ D=1^2-4cdot1cdot(-12)=49 \ a_1= frac{-1-7}{2} =-4 \ a_2= frac{-1+7}{2} =3 \ b=5-a \ b_1=5-a_1=5-(-4)=9 \ b_2=5-3=2$
Возвращаемся к исходным переменным:
$left[ begin{matrix} begin{cases} x+y=-4 \ xy=9 right end{cases} \ begin{cases} x+y=3 \ xy=2 right end{cases} end{matrix}right.$
Решаем первую систему:
$begin{cases} x+y=-4 \ xy=9 right end{cases} \ x=-y-4 \ (-y-4)y=9 \ -y^2-4y=9 \ y^2+4y+9=0 \ y^2+4y+4+5=0 \ (y+2)^2=-5$
Система не имеет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным
Решаем вторую систему:
$begin{cases} x+y=3 \ xy=2 right end{cases} \ x=3-y \ (3-y)y=2 \ 3y-y^2=2 \ y^2-3y+2=0 \ (y-1)(y-2)=0 \ y_1=1Rightarrow x_1=3-1=2 \ y_2=2Rightarrow x_2=3-2=1$
Ответ: (1; 2); (2; 1)