Question

в прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны 1 и 2 найдите периметр треугольника

Answer 1

Обозначим  катеты  а  и  b ; гипотенуза  с; ∠(а;с) = α  ⇒  ∠(b;c) = 90°- α ;
   a = 1: cosα = 1/cosα   ;  b = 2: cos(90°- α)= 2/sinα
     a² + b² = c² = (1+2)² = 9
    1/cos²α + 4/sin²α = 9
    sin²α + 4cos²α = 9sin²α·cos²α
    1 - cos²α + 4cos²α = 9·(1- cos²)·cos²α
     9·(cos²α)² - 6·cos²α + 1 = 0
    ( 3cos²α - 1)² = 0 
     cosα = √3/3   ⇒   sinα = √[1 - (√3/3)²] = √6/3
    a = 1/(√3/3) = √3  
    b = 2/(√6/3) = √6 

p = a + b + c = 3 + √3 + √6