Question

Треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. Точки k и n середины сторон АВ и ВС соответственно,точка М лежит на стороне АС, причём угол АКМ=СNМ,найдите АВМ и ВМС, если АВС=36 градусов. плииз

Answer 1

в равнобедренном треугольнике углы при основании равны и сумма всех углов = 180 градусов. следовательно, углы у основания будут равны (180-36)/2 = 72 градуса.
Из задания изначально не известно, где именно лежит точка М на стороне АС. Но при этом сказано, что углы АКМ=СNМ. Фигура MkBn является ромбом, т.к. kB = Bn из условия (Точки k и n середины сторон АВ и ВС). Если провести прямую kn, то угол knB тождественен углу ACB = 72 градуса.Угол Bkn тоже тождествен углу BAC = 72 градуса. Следовательно, треугольник kBn тождествен треугольнику ABC, который является равнобедренным. 
Далее, угол AB = AkM+ MkN+nkB. Или 180 + x + y +72
Угол BC = MnC + Mnk + knB. Или 180 + z + r + 72
Можно записать, что x + y +72 = z + r + 72 = 180. По условию сказано, что АКМ=СNМ, значит x = z. Тогда можно утверждать, что x+y+72 = x+r+72.
x-x+y = r+72-72. Отсюда y=r. Поскольку я принял, что у это MkN, а r  = Mnk, то фигура MkBn -ромб с углами 36 градусов и 360-(2*36)/2 = 144 градуса.
Поскольку это ромб, то kn перпендикулярно BM. Учитывая, что треугольники подобны, то BM перпендикулярно AC и является биссектрисой и высотой. Угол AMB и BMC = 90, угол MAB = 72, угол ABM = 180-90-72 = 18 градусов.
Ответ: ABM= 18 градусов, BMC = 90 градусов.
Очень много времени ушло на доказательство, что точка M лежит посередине AC. В принципе, это выткало из равенства углов АКМ и СNМ

Answer 2

Пардон, ошибка небольшая. 180 = x + y +72 и 180 = z + r + 72. Я заменил неизвестные углы переменными. Ну, а поскольку оба выражения равны 180, значит между этими выражениями можно поставить знак = и решить уравнение.

Answer 3

Дольше писать объяснение, чем решить задачу.