Question

Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А(3;0) и В(-1;2), если центр её лежит на прямой у=х+2

Answer 1

Уравнение окружности: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Подставляем в уравнение известные точки:
$begin{cases} (3-a)^2+(0-b)^2=r^2 \ (-1-a)^2+(2-b)^2=r^2 right end{cases}$
Приравниваем левые части:
$(3-a)^2+(0-b)^2= (-1-a)^2+(2-b)^2 \ (3-a)^2+b^2= (1+a)^2+(2-b)^2 \ 9-6a+a^2+b^2=1+2a+a^2+4-4b+b^2 \ 9-6a=1+2a+4-4b \ 8a-4b-4=0 \ 2a-b-1=0 \ b=2a-1$
Так как известно, что точка (a; b) принадлежит прямой у=х+2, то добавляем к полученному уравнению еще одно и получаем систему:
$begin{cases} b=2a-1 \ b=a+2 right end{cases} \ 2a-1=a+2 \ a=3 \ Rightarrow b=3+2=5 \ Rightarrow r^2=(3-3)^2+5^2=0^2+25=25$
Искомое уравнение: $(x-3)^2+(y-5)^2=25$